直线与圆相切的证明情况

（1）第(dì)一种

　　在直角坐标系中直线和圆交点(diǎn)的坐标应满足(zú)直线方程和圆的方程，它应该是直(zhí)线(xiàn) Ax+By+C=0 和圆 x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F=0）的公(gōng)共解，因此(cǐ)圆和(hé)直线(xiàn)的(de)关系(xì)，可(kě)由方(fāng)程组的解的情况来判别(bié)

　　Ax+By+C=0

　　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　　如果方程组有两组相等的实(shí)数解，那么直线与圆相切与(yǔ)一点，即直线是圆的切线。

（2）第二种

　　直线与圆的位置关系还可以通过比(bǐ)较圆心到直线(xiàn)的(de)距(jù)离d与圆(yuán)半径(jìng)r的(de)大(dà)小来(lái)判别(bié)，其中，当 d=r 时，直线与圆相切。

扩展

几种(zhǒng)形式的圆方程

　　（1）标准方程(chéng)：：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

　　（2）一般(bān)方(fāng)程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

　　（3）直径(jìng)是(shì)方程(chéng)：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

　　联立直线(xiàn)和圆方程时(shí)，可以采(cǎi)用这几种形式(shì)的(de)圆(yuán)方程。

　　对于不(bù)同的问(wèn)题，采用不(bù)同的方(fāng)程形(xíng)式可使(shǐ)计算得到(dào)简化。

直线与圆(yuán)相交的弦长(zhǎng)公式(shì)

　　L=2R* (a/2)

圆的弦(xián)长公式是(shì)

　　1、弦长(zhǎng)=2R

　　R是半(bàn)径,a是圆心角。

　　2、弧长L,半径(jìng)R。

　　弦长=2R(L*180/πR)

　　直(zhí)线(xiàn)与(yǔ)圆锥(zhuī)曲(qū)线相交所得弦长d的(de)公式。

　　弦(xián)长(zhǎng)=│x1x2│√(k^2+1)=│y1y2│√[(1/k^2)+1]

　　其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与(yǔ)曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。

　　PS圆锥曲(qū)线(xiàn)，是数学(xué)、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正(zhèng)圆锥面和一(yī)个平面完整相切）得到的一(yī)些曲线，如(rú)椭(tuǒ)圆，双(shuāng)曲线，抛物线等。

　　关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方(fāng)法是将直线y=+b代(dài)入曲线方程，化为关于x（或关于(yú)y）的(de)一元二次方程(chéng)，设出交点坐标，利用(yòng)韦达定理及弦(xián)长(zhǎng)公式求出(chū)弦长。

　　这种整体代(dài)换，设而不求的思想方法对(duì)于求直线与(yǔ)曲线(xiàn)相交弦长是十分(fēn)有效的，然而对于过焦点的圆(yuán)锥(zhuī)曲线弦(xián)长求解利用这(zhè)种方法相比较而(ér)言有(yǒu)点繁琐，利用(yòng)圆(yuán)锥曲线定义及有(yǒu)关定理吊带和背心有什么区别，吊带和背心有什么区别导出各种曲线(xiàn)的焦点(diǎn)弦长(zhǎng)公(gōng)式(shì)就更为简捷。

直(zhí)线被圆截得的弦长公式

　　设圆半(bàn)径为(wèi)r，圆(yuán)心(xīn)为（m，n)，直线方程为++c=0，弦心距为d，则(zé)d^2=(++c)^2/(a^2+b^2)，则弦长的一半(bàn)的(de)平方为（r^2d^2)/2。

弦长抛物线公式

　　1、y^2=2，过焦点直(zhí)线交抛物线于A(x1,y1）和(hé)B(x2,y2）两点，则(zé)AB弦长(zhǎng)d=p+x1+x2。

　　2、y^2=2，过(guò)焦点直线交抛(pāo)物(wù)线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两(liǎng)点，则AB弦长(zhǎng)d=p﹙x1+x2﹚。

　　3、y^2=2，过(guò)焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两(liǎng)点，则AB弦长d=p+y1+y2。

　　4、y^2=2，过焦点(diǎn)直线交抛(pāo)物线(xiàn)于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦(xián)长(zhǎng)d=p﹙y1+y2﹚。

注意事项

　　1、利(lì)用直角三角形勾股(gǔ)定理(lǐ)，先求得直径与径的距离OH。

　　由于(yú)弦(假设交于圆CD)平行于半圆直径，过直径中点(O)作垂线交于弦(设交点为H)，并连接直径中点O与弦一头A。

　　2、在弦与直(zhí)径之(zhī)间做(zuò)平(píng)行于直径(jìng)的弦，连接直径(jìng)中点(diǎn)O与平行弦跟半圆的交点，得到的都是直角(jiǎo)三角(jiǎo)形(如ODH1,OEH2等等)。

　　3、如(rú)果(guǒ)机翼平(píng)面形状不是长(zhǎng)方形，一(yī)般(bān)在(zài)参数计(jì)算时采用制造商指定位置的弦长(zhǎng)或平均弦长。

　　被直线(xiàn)所截的弦(xián)长就等于(yú)对应圆(yuán)心角的一半大小的(de)正弦(xián)值(zhí)乘以半(bàn)径再乘以二这样就(jiù)得到了玄长的(de)公式。

圆心(xīn)角

　　顶点在圆(yuán)心(xīn)上，角的两边与圆周相(xiāng)交的角叫做(zuò)圆心(xīn)角。

　　如右图，∠AOB的顶点O是圆(yuán)吊带和背心有什么区别，吊带和背心有什么区别O的圆(yuán)心(xīn)，OA、OB交圆(yuán)O于A、B两点，则∠AOB是圆心角。

圆(yuán)心角特征

　　1、顶点是圆心；

　　2、两条边(biān)都(dōu)与圆周相交。

　　圆心角计算公式

　　1、L(弧(hú)长(zhǎng))=(r/180)XπXn（n为圆(yuán)心角度数，以(yǐ)下(xià)同(tóng)）；

　　2、S(扇形面积)=(n/360)Xπr2；

　　3、扇形圆心角(jiǎo)n=（180L）/（πr）（度）。

　　4、K=2R(n/2)K=弦长(zhǎng)；

　　n=弦所(suǒ)对(duì)的圆心角(jiǎo)，以度计。

圆与直线(xiàn)相切公式是(shì)什么(me)？

　　圆与直线相切公式是(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2。

　　圆与直线相切(qiè)所(suǒ)有公(gōng)式是设(shè)圆是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，那么在（x1，y1）点与圆相切的直线方程是：(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2。

　　直线和圆(yuán)相切，直线和(hé)圆有(yǒu)唯一(yī)公共点，叫做(zuò)直线和圆相切。

　　可以通过比(bǐ)较圆心(xīn)到直线的距离d与(yǔ)圆半(bàn)径r的大小、或(huò)者方程组、或者利用切线的定义来证(zhèng)明。

　　圆与(yǔ)直线相切的证明方法：

　　在直(zhí)角坐标(biāo)系中(zhōng)直线(xiàn)和圆交点(diǎn)的(de)坐(zuò)标应满足直(zhí)线方程和圆(yuán)的(de)方程，它应该是(shì)直线 Ax+By+C=0 和圆 x+y+Dx+Ey+F=0（D+E-4F=0）的公共解(jiě)，因(yīn)此圆和(hé)直线(xiàn)的关(guān)系，可(kě)由方程组Ax+By+C=0，x+y+Dx+Ey+F=0的(de)解(jiě)的情况(kuàng)来(lái)判别(bié)。

　　如果方程组有两组相(xiāng)等(děng)的(de)实数解，那么(me)直线(xiàn)与(yǔ)圆(yuán)相切(qiè)于一(yī)点，即直线(xiàn)是圆的切线(xiàn)。

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